Integral Example

积分题解：

$\int \frac{1}{1+x^6}dx$

题目

求

$$I=\int \frac{1}{1+x^6}dx$$

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思路总览

核心是把分母拆开：

$$1+x^6=(x^2+1)(x^4-x^2+1)$$

然后利用

$$\frac{1}{1+x^6}=\frac{1}{x^2+1}-\frac{x^2}{1+x^6}$$

把原积分拆成两部分。
其中第二部分再进一步处理成一个适合换元和部分分式分解的形式。

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第一步：先拆出一个容易积分的部分

设

$$A=\int \frac{x^4}{1+x^6}dx,B=\int \frac{1}{1+x^6}dx$$

则

$$A+B=\int \frac{x^4+1}{x^6+1}dx$$

注意到

$$x^6+1=(x^2+1)(x^4-x^2+1)$$

并且

$$x^4+1=x^4-x^2+1+x^2$$

所以

$$A+B=\int \frac{x^4-x^2+1+x^2}{(x^4-x^2+1)(x^2+1)}dx=\int \frac{1}{x^2+1}dx+\int \frac{x^2}{1+x^6}dx$$

整理后，原解法可写成

$$B=\arctan x+\frac{1}{3}\arctan (x^3)-\int \frac{x^2-1}{x^4-x^2+1}dx$$

下面处理最后这个积分。

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第二步：处理

$$\int \frac{x^2-1}{x^4-x^2+1}dx$$

先把分子分母同时除以 $x^2$：

$$\int \frac{x^2-1}{x^4-x^2+1}dx=\int \frac{1-\frac{1}{x^2}}{x^2-1+\frac{1}{x^2}}dx$$

令

$$u=x+\frac{1}{x}$$

则

$$du=\left(1-\frac{1}{x^2}\right)dx$$

并且

$$u^2=x^2+2+\frac{1}{x^2}\Rightarrow x^2+\frac{1}{x^2}=u^2-2$$

所以分母变成

$$x^2-1+\frac{1}{x^2}=u^2-3$$

于是

$$\int \frac{x^2-1}{x^4-x^2+1}dx=\int \frac{du}{u^2-3}$$

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第三步：对 $\int \frac{du}{u^2-3}$ 做部分分式分解

$$u^2-3=(u-\sqrt{3})(u+\sqrt{3})$$

所以

$$\frac{1}{u^2-3}=-\frac{1}{2\sqrt{3}}\left(\frac{1}{\sqrt{3}+u}+\frac{1}{\sqrt{3}-u}\right)$$

因此

$$\int \frac{du}{u^2-3}=-\frac{1}{2\sqrt{3}}\int \left(\frac{1}{\sqrt{3}+u}+\frac{1}{\sqrt{3}-u}\right)du$$

积分得

$$\int \frac{du}{u^2-3}=-\frac{1}{2\sqrt{3}}\ln \left|\frac{\sqrt{3}+u}{\sqrt{3}-u}\right|+C$$

代回

$$u=x+\frac{1}{x}$$

得到

$$\int \frac{x^2-1}{x^4-x^2+1}dx=-\frac{1}{2\sqrt{3}}\ln \left|\frac{\sqrt{3}+x+\frac{1}{x}}{\sqrt{3}-x-\frac{1}{x}}\right|+C$$

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第四步：代回原式

前面已经得到

$$B=\arctan x+\frac{1}{3}\arctan (x^3)-\int \frac{x^2-1}{x^4-x^2+1}dx$$

代入上一步结果：

$$B=\arctan x+\frac{1}{3}\arctan (x^3)-\left(-\frac{1}{2\sqrt{3}}\ln \left|\frac{\sqrt{3}+x+\frac{1}{x}}{\sqrt{3}-x-\frac{1}{x}}\right|\right)+C$$

即

$$\boxed{\int \frac{1}{1+x^6}dx=\arctan x+\frac{1}{3}\arctan (x^3)+\frac{1}{2\sqrt{3}}\ln \left|\frac{\sqrt{3}+x+\frac{1}{x}}{\sqrt{3}-x-\frac{1}{x}}\right|+C}$$

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最终答案

$$\boxed{\int \frac{1}{1+x^6}dx=\arctan x+\frac{1}{3}\arctan (x^3)+\frac{1}{2\sqrt{3}}\ln \left|\frac{\sqrt{3}+x+\frac{1}{x}}{\sqrt{3}-x-\frac{1}{x}}\right|+C}$$

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备注

这个解法最关键的两步：

1. 利用

   $$1+x^6=(x^2+1)(x^4-x^2+1)$$

   做拆分。

2. 对

   $$\int \frac{x^2-1}{x^4-x^2+1}dx$$

   使用换元

   $$u=x+\frac{1}{x}$$

   因为它正好产生

   $$du=\left(1-\frac{1}{x^2}\right)dx$$

   并把四次式压成二次式 $u^2-3$。